Persamaan dan Fungsi Kuadrat


Persamaan Kuadrat

Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai beberapa masalah yang terkait dengan persamaan kuadrat. Perhatikan masalah berikut. “Johan dan Mario bekerja bersama-sama mengecat dinding dalam waktu 18 menit. Jika Johan bekerja sendirian, ia memerlukan waktu 15 menit lebih lama daripada waktu yang diperlukan Mario. Berapa waktu yang diperlukan Johan dan Mario masing-masing untuk mengecat dinding?”

Laju Mario mengecat adalah $\frac{1}{t}$Laju Johan mengecat adalah $\frac{1}{t+15}$

Laju mengecat bersama-sama adalah $\frac{1}{18}$ Dan pada akhirnya didapatkan:

Persamaan untuk menyelesaikan masalah ini adalah $\frac{1}{t}+\frac{1}{t+15}=\frac{1}{18}$ Disederhanakan menjadi

$t^{2}-21 t-270=0$

Persamaan $t^{2}-21 t-270=0$ merupakan salah satu contoh persamaan kuadrat dan untuk menyelesaiakannya akan dibahas pada bagian ini. Secara umum persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua dan biasanya dituliskan sebagai $a x^{2}+b x+c=0$ dengan $a \neq 0$ dan $a, b, c \in R .$ Bilangan $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ pada persamaan kuadrat tersebut disebut sebagai koefisien. 

$t^{2}-21 t-270=0$

a = 1

b = -21

c = - 270

Contoh lain:

(i)  $2 x^{2}+7 x+3=0$

     a = 2

     b = 7

     c = 3

(ii)  $3 x^{2}-12=0$

      a = 3

      b = 0

      c = 12

(iii) $2 x^{2}-5 x=0$

       a = 2

       b = -5

       c = 0

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar atau penyelesaian dari $a x^{2}+b x+c=0$  adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. 

Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu:

1.  Memfaktorkan

2.  Melengkapi Kuadrat Sempurna

3.  Rumus Kuadratik (Rumus abc)

Menentukan Akar Peramaan Kuadrat dengan Memfaktorkan bentuk $a x^{2}+b x+c=0$ 

Tahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat $x^{2}+b x+c$ menjadi $(x+p)(x+q)$ atau bisa dituliskan

$x^{2}+b x+c=(x+p)(x+q)$

$x^{2}+b x+c=x^{2}+(\ldots+\ldots) x+(\ldots \times \ldots)$

jadi untuk memfaktorkan harus dicari bilangan $p$ dan $q$ sedemikian hingga $b=\ldots+\ldots$ dan $c=\ldots \times \ldots .$

1. $x^{2}+5 x+6=0$

Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu,  sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah

    $\Leftrightarrow(x+3)(x+4)=0$

    $\Leftrightarrow x+3=0$ atau $x+4=0$

    $\Leftrightarrow x_{1}=-3$ atau $x_{2}=-4$

Bagaimana dengan akar akar perssmaan kuadrat bentuk $2 x^{2}+10 x+12=0 ?$

2. $3 x^{2}-x-10=0$

Didapat a= 3, b = ...  dan c = ... , sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p+q=-1 dan p∙q=-30. Dalam hal ini dilihat syarat p∙q=-30 terlebih dahulu,  sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah

  $\Leftrightarrow \frac{(3 x-6)(3 x+5)}{3(3 x+5)}$

  $\Leftrightarrow \frac{3(x-2)^{3}(3 x+5)}{3}$

  $\Leftrightarrow(x+2)(3 x+\cdots)$

  $\Leftrightarrow x+2=0$ atau $3 x+5=0$

  $\Leftrightarrow x_{1}=-2$ atau $x_{2}=-\frac{5}{3}$

3)  Tentukan akar-akar dari persamaan $2 x^{2}-4 x=0$ 

      Alternatif Penyelesaian $2 x^{2}-4 x=0$

      $\Leftrightarrow 2 x(x-2)=0$

      $\Leftrightarrow 2 x=0$ atau $x-2=0$

      $\Leftrightarrow x=0$ atau $x=2$

      $\therefore$ akar-akarnya adalah $x_{1}=0$ atau $x_{2}=2$

4)  Tentukan akar-akar dari persamaan $x^{2}-9=0$ 

      Alternatif Penyelesaian $x^{2}-9=0$

      $\Leftrightarrow x^{2}-3^{2}=0$

      $\Leftrightarrow(x+3)(x-3)=0$

      $\Leftrightarrow x+3=0$ atau $x-3=0$

      $\Leftrightarrow x_{1}=-3$ atau $x_{2}=3$

      $\therefore$ akar-akarnya adalah $x_{1}=-3$ atau $x_{2}=3$ 

Bagaimana dengan akar akar persamaan kuadrat bentuk $2 x^{2}-32=0 ?$


Postingan populer dari blog ini

LATIHAN 1: PENILAIAN SUMATIF AKHIR JENJANG 2024/2025

Penilaian Sumatif Akhir Jenjang BILANGAN BULAT 1. Hasil dari \((-20) + 8 \times 5 - 18 \div (-3)\) adalah... A. 14 B. 26 C. 32 D. 40 Periksa Jawaban Penyelesaian: \((-20) + 8 \times 5 - 18 \div (-3)\) = \((-20) + 40 + 6\) = \(26\) 2. Dalam kompetisi matematika, setiap jawaban benar diberi skor 4, salah \(-2\) dan tidak dijawab \(-1\). Dari 50 soal yang diberikan, Budi menjawab benar 39 dan salah 4. Skor yang diperoleh Budi adalah... A. 127 B. 130 C. 141 D. 161 Periksa Jawaban Penyelesaian: \((39 \times 4) + (4 \times (-2)) + (7 \times (-1))\) ...
Baca selengkapnya

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

 Menentukan Nilai Optimum dengan Rumus Apa rumus untuk mendapatkan sumbu simetri, nilai optimum dan titik optimum dari garfik fungsi $f(x)=a x^{2}+b x+c$  perhatikan bagaimana menentukan rumusnya  $f(x)=a x^{2}+b x+c$ $f(x)=a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x\right)+c$ $f(x)=a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}\right)-a\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}+c$ $f(x)=a\left(x+\frac{b^{2}}{2 a}\right)^{2}-a\left(\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)+c$ $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a}+\frac{4 a c}{4 a}$ $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}$ dari materi yang sudah Anda pelajarai paelajari pada pertemuan sebelumnya didapatkan  sumbu simetrinya adalah $x=-\frac{b}{2 a}$ nilai optimumnya adalah $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}$ titik 0ptimumnya adalah $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)$ Contoh: Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x)=-8x^{2}-16 x-1$, tentukan a. Persamaan sumbu simetri b. ...
Baca selengkapnya